矩阵分析Horn《矩阵分析》的学习心得

最近我几乎无阻力的看完了Horn《矩阵分析》的中译本，也许有人会觉得奇怪，为什么你现在还看这样初等的书呢？原先我只看过理工科的线性代数，后来补了个Jordan标准型就直接看抽象代数了，有时会感到处理矩阵运算时还不得心应手，就有心找本讲矩阵的书强化一下。可所谓矩阵论教材大都给理工科看的，再回头看高等代数的话又嫌啰嗦，幸好在华章数学译丛里发现了这本用现代观点来介绍矩阵理论的好书。

既然书名叫做矩阵分析，那么主要就是用分析的手段来研究矩阵，这里的分析不单指极限这样简单的数学分析概念，还包括泛函分析的基本思想。事实上，书中很多语言完全是可以直接与泛函接轨的，比如把矩阵特征值的集合成为谱，引入矩阵范数前详细讨论了向量范数（既然早看过泛函，这个部分我就跳过吧），并细致处理了关于矩阵的有限维谱定理。记得以前看Hilbert空间的算子谱论时，总觉得对有限维的情形看得不是太清楚，好在是现在填补了这个空白，Hermite矩阵的变分特征对应着算子理论中的极小极大原理，而矩阵扰动也正对应了算子的扰动。除了分析手段之外，一些最简单的代数与拓扑也用来刻画矩阵，特别是提示了可以把矩阵作为一个群来看待。比如其中有个习题提到了所有复正交矩阵可以构成了一个非紧群，这一看似平凡的结论既强调了数域的差别，又涉及了群与紧致的概念，恐怕是国内作为新生课高等代数教材所达不到的。

此书的一个看点，同时也是我所重视的部分就是它不仅研究了单个矩阵，而且还研究了矩阵族。书中从矩阵的同时可对角化问题开始，不断提醒我们注意族问题的存在性，比如到正规矩阵就考虑同时可酉对角化，到Hermite矩阵就考虑同时可相合对角化等。正是受此启发，我从中抽象出一个数学族问题的框架，并且具体考虑了矩阵在奇异值分解条件下的同时可对角化问题。我想，矩阵的同时对角化问题正是此框架下的典型例子，至少目前可以想到推广方向是：改变运算之后考虑李代数的同时对角化，改变空间之后考虑一些典型算子的同时对角化。

此书后半部分讲到了不少有趣的新内容，特别是介绍了矩阵的组合理论，对某些矩阵的性质赋以图论解释。不过这里的矩阵元素很多情况下都只有零与非零的区别，总是让人感到遗憾。要是把数域推广到非零特征的情形，就可以用加法制造零点了（考虑含零因子的环还可以用乘法制造零点，不过这似乎远了点），这样问题可能会复杂一些，但可以让其中的元素多显示一点自己的价值。除此之外，此书后半部分还提到了Hermite矩阵的Weyl定理、关于特征值估计的Gersgorin圆盘、矩阵的奇异值分解、非负矩阵的Perron定理等，这些都是一般高等代数书上所不常见到的有趣课题。

这本书的作者充分照顾了自学读者的需要，写得翔实而又不失启发性，应该算是一本五星级的自学读物了。如果你正好学完高等代数，哪怕只是所谓的线性代数，而又想看到一些新鲜东西的话，相信它一定不会让你失望的。

文章出自我的博客：

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