代数拓扑基础Munkres《代数拓扑基础》的阅读与思考

原本是去年看完Munkres《代数拓扑基础》中译本之后写成的文章，一年之后自然又有了一些新收获，所以就补充一点新的体会重发出来。

先来说说读这个书所需要的预备知识，主要就是代数与拓扑两个方面的了。其实书中对一些基础的知识都预先做了大致的介绍，所以起点还是比较低的，但若是已经掌握一些基本技术，那么就可以把注意集中到拓扑的主要内容上了。代数方面，最好了解一点模正合列，特别是要把图表追赶的技术玩熟（尽管书中一般只涉及Abel群的情形），要是再了解一点Hom、Ext、Tor函子与张量积就更好了。拓扑方面嘛，正规空间的知识是必须的，但更主要是商空间的理论，像20与37节都是很精彩的补充，而对复形的理解最好先了解一点凝聚拓扑（coherent topology），还有就是了解一点常见曲面的粘合与剖分将是非常有益的。我想，这些知识大概可以从Munkres的第一本《拓扑学》中找到，虽然我没看过那本书，但它的口碑是不错的。

接着，我来简单介绍一下这本书的特色：

从取材来看，这本书其实更适合叫做《同调论》，因为它主要就是处理复形的同调。书里对同伦也就介绍了同论等价的概念，主要遇到的只是其特例形变收缩，目的还是为了得出同调群的相等（同伦不变性）。其实，我以前曾见到过一本中文的《同调论》，其内容和这本书大致类似，现在新出的一本中文的《同调论》，仍然是依照着它的模式。

就内容来说，此书是从直观出发，直到引入许多比较“前卫”的概念。书中对单纯形有很多具体的剖分，比如环面与Klein瓶都是经常出现的角色，对一些比较抽象的定理也独具匠心的在习题中安排了具体的例证。我想，代数拓扑虽然有点抽象，但毕竟还不是同调代数，许多几何化的材料还是必不可少的。同时，作者也引入了像无穷复形、同调流形这些同类书籍中不常见的概念，特别在链的意义上处理了同调与上同调的关系，这对进一步深入学习都是有所帮助的。

可见，此书内容还是比较丰富的，但同时编排还比较灵活，读起来有移步换景的感觉。比如，先介绍一点相对同调和任意系数的同调，到后来才讲正合列与万有系数定理。我想，若是开始就把先进的武器交出来，恐怕就没有多少人愿意用土办法来计算了。这样安排，既训练了学生计算的能力，又显示了那些定理的威力。但值得商榷的是，其中正向极限一直到Cech上同调后才“很不情愿”的交出来，而有些同类书上是用它来处理Poincare对偶的。

到此为止，似乎写得有点像书评了，下面还是简单谈谈我的感想吧。

相信很多学过代数拓扑的朋友都有这样的感受，代数拓扑仿佛是华而不实的一个东西，尽管精心设计了各种各样的同调理论，但真正能算出来的没几个。除了二维曲面能用技术处理一下之外，其余的可以计算的就只有锥了（球面说到底不就是双角锥嘛，射影空间与透镜空间也不过是从球面派生出来的），或许那个锥还是因为好算才特别推荐出来的呢。不过，幸好同调群还有M-V列，要是同伦群的话甚至连基本的球面都没法计算！

与实用(计算）方面的软弱无力恰恰相反，在理论方面却得到了专题性的发展，就此书的范围已经像我们展示同调论的工整结构，甚至被升华为同调与上同调的公理（见下面的简图，其中没处理区分任意系数与常系数，对CW复形的情形也没展开，不然就太恐怖了）。

其实，许多代数拓扑的结构可以从链上来统一把握，并且把Abel群推广到模。这就催生出了同调代数一个非常具有统治力的领域。代数拓扑中的很多结构（比如链复形、链同伦）都在同调代数中有进一步发展，甚至连单形也借助范畴论的语言公理化的发展起来。值得注意的是，上同调与同调可以通过对偶定理与万有系数定理相联系，似乎应该是一种对称的多余，但上同调却显示了比同调更加丰富的结构（上同调环，Cech上同调），据说在代数几何中也起着更为重要的作用。

最后来谈一谈单纯与奇异理论的关系，原来看奇异同调的时候觉得似乎有点多此一举，特别是看到它模仿着原始的单纯逼近的剖分来证明奇异同调同构的时候，差点就笑了出来。但后来发现奇异同调处理的范围非常广泛，只要有拓扑空间就可以考虑建立它的同调，这里我想是不是对某些特殊的拓扑，特别是一些非自然的拓扑（比如素谱Spec R上拓扑），其同调或者上同调是不是有意义呢？或者反过来，能不能对某些特殊的同调或上同调找到相应的拓扑空间呢？这就有待于我的进一步学习和探索了。

以上出自我的博客，原文地址是：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_486c2cbf0100br79.html