欧几里得·几何原本《读完第四卷》

此卷的内容较少，百分之百的尺规作图问题。

Ⅳ.1命题的内容：将一条不长于直径的线段拟合于圆。仍然是使用圆相交的方法。

除此命题和Ⅳ.10外，其余都是作圆的内接和外切平面图形或是作这些图形的外接和内切圆。

Ⅳ.2与Ⅳ.3分别讨论尺规作图圆的内接和外切三角形。其三个角必须与已知三角形的三个角相等。其依据主要包括I.32：三角形内角和等于二直角；以及I..13。因此这就使用到了第五公设。

Ⅳ.4与Ⅳ.5分别讨论三角形的内切和外接圆。前者通过对角线的交点来确定圆心，后者通过垂直平分线的交点确定圆心。

Ⅳ.6，Ⅳ.7，Ⅳ.8，Ⅳ.9就是有关正方形的前述四种作图。较为直观。

Ⅳ.10是本卷最有趣味之处：尺规作图一等腰三角形，使其底脚为顶角的二倍。该命题的证明使用了III.32：弓形角等于相对的弓形的角。为此需要构建一条圆上的切线，由此使用到III.37：圆幂定理的逆定理。而为了创造该逆定理使用的条件，又应用了命题II.11：黄金分割一条线段。此为Ⅳ.10的分析思路。

Ⅳ.11和Ⅳ.12实现了对Ⅳ.10的应用——尺规作图圆内接和圆外切正五边形。此二命题为一个问题：如何5等分一个圆？只要圆内接一个Ⅳ.10中那样的三角形，二等分两底脚，可得到5个等于顶角的角。将之对应同圆内5段相等的弧（依据是III.26)。既可5等分圆。解决了此核心问题，IV.13与Ⅳ.14就没有什么难度了。

Ⅳ.15是尺规作图正六边形。其实就是将六个等边三角形拼在一起。

Ⅳ.16是尺规作图圆内接正十五边形。其实是将圆内接正三角形和正五边形叠加起来。

书中译者在注文里提到：后世的数学证明了并不是任何边数的正多边形都可尺规作图。如正七边形就做不出。我们直观上感觉将一个圆七等分是可以实现的，只要将圆心角分成相等的七分即可。试问如何将圆心角七等分？任何论证都必须有严密的过程。例如前面我们将一截线段、一个角和一段圆弧二等分，就使用了全等三角形的原理。