欧几里得·几何原本《读完第三卷》

这一卷的命题是将图形套入圆中来进行考察。在此卷之前，做圆的目的是为了构建三角形，而此卷圆的性质成为主角。

首先是对一些“直观”问题的证明。Ⅲ.2证明圆上两点的连线定在圆内，采用的是三角形外角大于内对角的方法。Ⅲ.5证明了相交的圆的圆心不可能重合，Ⅲ.6证明了内切圆也是这种情况。Ⅲ.10证明了两相交圆的交点不多于两个，Ⅲ.11证明了内切两圆的圆心连线过切点；Ⅲ.12证明了外切情形下的相同结论。Ⅲ.13证明了相切两圆仅有一个切点。这些命题在直观上是一目了然的，好像不证自明，但是，经过分析，仍可上溯到更基本的公理和定义。

接着是弦与弦的关系问题。Ⅲ.1的推论为：如A弦垂直平分B弦，则A弦过圆心。利用此原理，Ⅲ.1实现了求一个圆圆心的尺规作图。Ⅲ.3是Ⅲ.1的逆命题。由于Ⅲ.1含有两个条件，因此Ⅲ.3实包含两个命题：如过圆心的弦平分不过圆心的弦，二弦必垂直；如过圆心的弦垂直于不过圆心的弦，前者必平分后者。Ⅲ.4证明了不过圆心的二弦必不能互相平分。Ⅲ.15证明了同圆中越靠近圆心的弦越大，而最大的就是通过圆心的那一条。当然与圆心的远近是通过“弦心距”来衡量的，其证明也是通过Ⅲ.14这个弦心距的命题来巧妙实现的。Ⅲ.14的内容是：同圆弦心距相等的弦相等；及逆命题。Ⅲ.35是最不具有直观性的：相交两弦分别由被分割的两段构成矩形，二者面积相等。当然，正如译者所言，其证明未使用相似形的办法，而是用了第二卷的方法：Ⅱ.6命题。Ⅲ.35据译者所言为著名的“交弦定理”。

由不在圆上的一点向圆上引交线也是论题之一。这样的一点既可在圆内，也可在圆外。圆内一点的情形包括命题Ⅲ.7和Ⅲ.9。Ⅲ.7证明：从圆内非圆心的一点向圆上引线段，经过圆心的一条最长，与之方向完全相反的那一段最短；越靠近前者越长，越靠近后者越短。Ⅲ.9证明了，当圆内一点向圆上所引线段有三段相等者，此点为圆心。Ⅲ.9为将一段圆弧尺规作图为一整圆提供了依据。圆外一点的情形包括Ⅲ.8，此命题与Ⅲ.7颇为类似。

切线问题是重点包括从圆上和圆外一点引切线两种情形。圆上的情形包括：Ⅲ.16，Ⅲ.18和Ⅲ.19。首要的问题是，如何过圆上一点做切线？Ⅲ.16告诉我们，只要在直径的端点做个直角即可。因为该命题告诉我们：过直径端点作与直径呈直角的直线落在圆外。当然Ⅲ.16还包括这样充满神秘意味的命题：无法在前述直线与圆弧之间塞入别的直线。Ⅲ.18的内容是：原点与切点的连线垂直于相应的切线。Ⅲ.19的内容是：如果经过切点的弦垂直于相应的切线，则该弦是直径。略作思忖，可发现Ⅲ.16与Ⅲ.19是针对Ⅲ.18不同条件的逆命题。圆外的情形指命题Ⅲ.17：如何过圆外一点作切线？经过同心圆的构造和全等三角形的论证，Ⅲ.17轻松解决了这一问题。

由圆外一点同时引切线和交线，催生了又一著名定理：圆幂定理。此即指Ⅲ.36.，具体内容不再赘述。Ⅲ.37是其逆命题。

余下的问题涉及到圆弧及其所含的角。论证的起点是Ⅲ.20：同一圆弧上的圆心角是圆周角的两倍。因此，Ⅲ.21显而易见：同一圆弧上的圆周角都相等。结合三角形内角和等于两个直角，可以证明Ⅲ.22内接四边形对角和等于两直角。如果我们定义包含相等圆周角的弓形为相似弓形，我们又可推出Ⅲ.23与Ⅲ.24所证明的问题：等弦上的相似弧形相等。以此为依据，可进一步推证Ⅲ.26：等圆中相等的圆周角所对的弧相等。以Ⅲ.26为依据，采用反证法，可以推出Ⅲ..27：等圆上等弧的圆周角彼此相等。将之与Ⅲ.21比较，仅存在“同圆”和“等圆”的区别。这以区别是经过从Ⅲ.23到Ⅲ.24的过渡所实现的。Ⅲ.28证明等弦割等圆，得等弧。Ⅲ.29证明等圆中的等弧对等弦。以Ⅲ.28为依据，可实现等分一段圆弧的尺规作图。此处诸题似显啰嗦。

在圆内接三角形中，与直径相对的角为直角。将其扩延，有：半圆所含之角为直角；相对的，大弧所含为锐角，小弧所含为直角。

Ⅲ.32证明了弓形角和相对的弓形的角相等。以此为依据，可以进行Ⅲ.33与Ⅲ.34的尺规作图。