欧几里得·几何原本《读完第二卷》

在奥运赛事的诱惑之下，我还是完成了第二卷的阅读，尽管如同蜗行一般。

第二卷的十四个命题看似十分凌乱：主要是用几何的方式论证了几个并不复杂的代数式。译者甚至都有类似的感觉，为此还为Ⅱ.1-Ⅱ.10命题配上相对应的代数式。

译者一定有更深刻的考虑，但是，如果我们从最初的公设和公理出发，演绎到此，仍然无法将其配上这样的代数式。因为此时还没有出现任何超过自然数水平的数。当然更没有数的运算。当说两角相加时，我们还不能高级地想象两角度数的相加。而是将之考虑为包含且仅包含了此两角、将二者作为部分角的整体角。线段的相加也一样：我们并不是将二者的长度相加，而只是将二者并列放在同一直线上。

按照这样的图形逻辑推演的方式，我们会发现这十四个命题真正是形式和目的的有机的同一体，具有非常优美的秩序。

Ⅱ.1无疑是本卷最基本的一个命题，而Ⅱ.2和Ⅱ.3可视为对Ⅱ.1的应用。此三命题构成了后面推理的依据，基本而又足具直观性。

Ⅱ.4-Ⅱ.8这5个命题在形式，证明方法，证明依据上都十分相似。就形式而论，命题讨论的是一般矩形和正方形的各种面积组合的相等关系。就辅助线而言，都是首先作出命题中所涉及的正方形中之最大者，并连出其对角线——可以这样设计辅助线的依据是实现对正方形尺规作图的Ⅰ.46命题（如果能实现尺规作图，我们就认为这样的图形是存在的）。就证明依据而言，由于涉及到非正方形的面积，补形相等的面积置换法（Ⅰ.36），以及“两平行线间等底平行四边形相等（Ⅰ.43）”的面积置换法成为必要。Ⅱ.4，Ⅱ.7在这5个命题中是最简单的两个，只涉及将一个线段任意分割为两段，二者本质上也讨论的是一个问题。Ⅱ.5是将一线段同时进行等分和不等分的处理，然后讨论分割出的不同线段上的矩形和正方形的面积组合。Ⅱ.6是将线段等分，并将之延长一段。Ⅱ.8是将线段任意分割，并按其中一段进行延长，其本质与Ⅱ.4与Ⅱ.7同。这五道命题从形式上看似乎没有价值，但实际上如同跳板一样，为人们证明更有意义的命题作准备。

Ⅱ.9，Ⅱ.10两命题讨论线段之上正方形面积组合的等价关系。由于未涉及一般矩形，仅仅涉及正方形，因此勾股定理（Ⅰ.47）成为置换面积的途径。为此，辅助线的设计原则就是制造直角（Ⅰ.11）。与前述Ⅱ.5类似，Ⅱ.9讨论将线段同时等分和不等分的情形；与前述Ⅱ.6类似，Ⅱ.10讨论的是将线段等分并延长一段的情形。

Ⅱ.11-Ⅱ.14是前面“形式”的“目的”，它们的证明使Ⅱ.4-Ⅱ.7变得有价值。Ⅱ.11是用尺规法将一线段黄金分割。将一线段之一半作勾，将该线段作股，得弦，并将该玄减去勾，即得股之黄金分割。依照上面的方法，我们可分析，证明依据包括勾股定理Ⅰ.47和Ⅱ.6，即等分并延长线段的情形。Ⅱ.14是用尺规法做相等于任意四边形的正方形。前面已经论证（Ⅰ.45）：给定任意角，可得任意四边形的相等平行四边形。如果给定的角为直角，则可做任意四边形的相等矩形。在此基础上，通过勾股定理和Ⅱ.5，即将线段同时等分和不等分的情形，可进一步做出与该四边形相等的正方形。Ⅱ.12和Ⅱ.13分别是钝角三角形和锐角三角形下的余弦定理。其证明除了对勾股定理的使用之外，分别使用了Ⅱ.4和Ⅱ.7。Ⅱ.12和Ⅱ.13在本质上是同一问题，而其依据Ⅱ.4和Ⅱ.7，如前所述，也是同一问题。形式和目的在这里奇妙的统一。

本卷的印刷有几处小错误，但大家都能看得出，并不构成阅读障碍。